matematicas 3er parcial

DETERMINACION DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Y EJERCICIOS

Supongamos que tu profesor les pide a ti y a otro estudiante dibujar un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 55°, y 90°. Probablemente, tú y tu amigo dibujarán triángulos de distintos tamaños. Pero, como los triángulos tienen medidas iguales en sus ángulos, van a ser similares.

Recuerda que esto significa que los lados correspondientes de los triángulos tendrán longitudes proporcionales. Por ejemplo, un triángulo podría tener lados el doble de largos que el otro triángulo, como se ve abajo.

Ahora supongamos que a cada uno de ustedes se le ha pedido encontrar la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa. Si bien estamos usando triángulos distintos y tendremos números distintos en el numerador y el denominador, nos dará el mismo resultado. Tú y tu amigo obtendrán:

Las dos razones son las mismas porque los 2s se cancelan. Si dibujas un triángulo con los mismos ángulos y con lados que son el triple de largos que los del triángulo T, la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa será

. Esta razón será la misma para cualquier triángulo similar y se llama seno de 35°. El seno se abrevia como

El mismo tipo de resultado se obtiene si usas otras razones de los lados. Por ejemplo, si tomas la razón del lado adyacente al ángulo de 35° y la hipotenusa, obtendrás

sin importar qué triángulo de los anteriores utilices.

Además de la razón del seno, hay otras 5 razones o funciones que puedes calcular: cos, tan, cot, sec, y csc. Así como sen es la abreviatura para seno, cos es la de coseno, tan la de tangente, csc la de cosecante, sec la de secante, y cot la de cotangente. (Cuando decimos estas abreviaciones debemos pronunciar la palabra completa.) Estas seis funciones te ayudarán a encontrar la longitud de los lados desconocidos y también la medida de los ángulos. Veamos las definiciones de las seis funciones, empezando con un triángulo rectángulo típico como el que se muestra a continuación.

Las definiciones son las siguientes:

Dadas las definiciones, podemos practicar su aplicación.

Ejemplo
Problema	Determinar las seis funciones trigonométricas para el ángulo D en el siguiente triángulo rectángulo.
	longitud del lado opuesto D = 4 longitud del lado adyacente D = 3 longitud de la hipotenusa = 5	Lo primero que debes hacer es reconocer que es opuesto al ángulo D y es adyacente al ángulo D. Entonces escribe sus longitudes.
		Sustituye estos valores en las definiciones de las seis funciones.
Respuesta

Observa que los valores de seno y coseno están entre 0 y 1. Los calculaste dividiendo la longitud de un cateto y la hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo, por lo que el numerador es menor que el denominador. Esto significa que el resultado de las funciones seno y coseno son siempre menores que 1.

Ten en cuenta que el lado opuesto para uno de los ángulos agudos es el lado adyacente del otro ángulo agudo. En el ejemplo anterior, el lado EF fue el cateto opuesto para el ángulo D. Pero, como podrás ver en el siguiente ejemplo, será el cateto adyacente para el ángulo E.

Ejemplo
Problema	Determinar las seis funciones trigonométricas para el ángulo E en el siguiente triángulo rectángulo.
	longitud del lado opuesto E = 3 longitud del lado adyacente E = 4 longitud de la hipotenusa = 5	Este es el mismo triángulo que vimos en el ejemplo anterior. La diferencia es que lo vemos desde la perspectiva del ángulo E en lugar de la del ángulo D. Por lo que los lados opuesto y adyacente cambian de lugar. Esto es, es adyacente al ángulo E y es opuesto al ángulo E.
		Sustituye los nuevos valores en las definiciones de las seis funciones.
Respuesta

PROBLEMAS DE APLICACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

PROBLEMA: Un faro está ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y en un ángulo de depresión de 76° se divisa una embarcación. ¿A qué distancia de la base del faro se encuentra la embarcacción?

1) Realiza un esquema:

2) Relaciona y aplica funciones trigonométricas:

Sea el ángulo A, el ángulo base, se determina:

a) Cateto Opuesto = BC = distancia = x

b) Cateto Adyacente = AB = Altura del faro = 675 metros.

c) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es Tangente.

3) Cálculo de la distancia x:

4) Solución: La embarcación se encuentra a 2, 707.28 metros de distancia de la base del faro.

REPRESENTACION GRAFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Función Seno

Función coseno

Funcion Tangente

Función Cotagente

Función Secante

Función cosecante

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

PROBLEMAS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS Y DE ANGULOS DE DEPRESION Y ELEVACION

RAZONES TRIGONOMETRICAS

EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :

Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo

Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

a² = b² + c ²
14²= 8² + c²

                 196 = 64 + c²
           196 - 64 = c²
                  132 = c²                        y aplicando las fórmulas
               11,49 = c                                    tenemos:

          Luego c = 11, 49 m.

ANGULOS DE ELEVACION Y DEPRESION

ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESIÓN

Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando este está situado arriba del observador y ángulo de depresión al que se va a medir por debajo de la horizontal.